Question

求微积分公式，记不得了，很简单

好比水池中浓度为70%，我用浓度80%的水往里面注入，水池容积20立方，进水量6立方每小时，水池永远保持满水20方，多余的溢流走，那么随时间水池浓度增么变化，时间T单位小时是变数，怎么推导公式。求详细公式，
理论是无限久之后无限接近80%
Chandler4的回答是不对的，公式本身不对，不能简单的相除，因为流出去的水浓度是变化的，你按照的是简单配比，是完全不对的。

Answer 1

见下图（点击可放大）：

（百度最近不让发只有一张图的，所以这里带上一句话，为了能发出去。）

追问

说实话，你解答的，我看的更明白，但是晚了半个小时，不知道能部分分一部分分出来

追答

哈哈，分不重要，数学问题大家都弄明白了就是最好的。

Answer 2

设小时为t，浓度为(20*0.7+6t*0.8)/(20+6t)
当t趋近于正无穷大时
lim(t->无穷)(20*0.7+6t*0.8)/(20+6t) = (14/t+6*0.8)/(20/t+6) = 0.8*6/6=0.8

没有什么微积分公式,就是利用函数式配合极限的理论

追问

无需要的是不同的T下浓度值，好比一个小时后实际浓度，两个小时后实际浓度，此为实际应用，需要知道几个小时后实际浓度，你算法完全错误，你这是无溢流走状况下结果。如果是用汇编语言，我可以做个程序，做一个细分量例如取一秒间隔，计算一次，做个比较，一小时就是计算3600次，2小时就是计算7200次，计算出来的结果应该是接近的，但是这算法本身不对，就向计算圆周率一样

追答

首先我列出的公式是基于时间无限大的前提，你纠结于1小时，两小时的有什么用？

无限大本身就是极限的意思,当到一定程度时,溢出考虑无限大密度也同样趋近于这个.

这跟什么语言有什么关系,c,c++,c#,java,pathon,ruby,js？

而且看看你自己的理解。瞬间混合，这是你说的吧。
这和20升70%的液体和无穷量的80%液体混合求浓度有什么区别？

要是按照你的理论我的函数式每时每刻都符合你的要求。
(20*0.7+6t*0.8)/(20+6t)

追问

前面我说了每半小时计算一次，一小时后浓度是72.43，
直接按照你的公式计算是72.3，这能对么？？？
我需要的就是实际经过一两个小时后的实际浓度，所以我说本身就是错的。
我说如果按照0.1小时计算那么每次按照你这个公式算，计算出的浓度把结果再套入下次计算，计算十次就更接近一小时浓度，但也仅仅是接近。

Answer 3

设浓度为x，每dt时间，流入 80%的盐水6dt，同时流出x的盐水6dt
增加浓度为dx，因此根据增加的浓度20 * dx = 6dt（80% - x），

根据这个等式求 t =0 时 x0 = 70%的定积分，即可求出任意时刻的浓度

追问

这个好像接近，大学的高数全部还给老师了，所以不知道怎么处理，有没有详细的算法么？公式能否变化一下呢？

追答

要处理什么？把x和t分成两边
20dx/(0.8-x) = 6dt
然后两边求定积分，左边从 x0 到 x， 右边从 0 到 t

左边稍复杂些，用积分公式得 -20 [ln （0.8-x） - ln （0.8 - 0.7）]

右边直接 = 6（t - 0 ）
把任意t代入就可得到对应的x了

Answer 4

追问

这个很靠谱，我跟实际验证一下，对的话就直接取你了

追答

好的，有问题的话可以私信我。

Answer 5

这个好像无法列等量关系啊。
因为不同密度的情况下，溶液混合的速度应该是不同的。
低浓度的情况下，混合得快。
当水池中浓度变得高的情况下，混合的就慢了。

这个混合速率函数，必须已知才行。

追问

按照混合速度很快就行，也可以看作瞬间混合，说是水池，也可以搅拌啊，可以理论算混合速度非常快，但是不是化学实验配比混合，因为此混合是动态的，所以推导理论浓度公式

追答

这不可能啊。

你看，80%的溶液，进去后就会排出70%的溶液，也会排出80%的溶液
如果混合得快，那么排出的70%的溶液就会多，排出80%的溶液就少
你说完全混合，就是排出的全是70%溶液。
那么这么算，很快，真个水池就是80%的溶液了。

追问

按照微分的算法，80%进去，溶液会缓慢升到70多一点，随着流进去的越来越多，那么浓度越来越高，流出去的也越来越高，但是最终也达不到80，就是需要浓度随时间变化的方程式

追答

哎呀，你看看，你说的这个过程，你自己都不清楚是怎么回事吧？？
你能量化的把这个过程表达出来么？？

追问

微分到半小时
第一个半小时(3*80+20*70)/23=71.3
第二个半小时（3*80+20*71.3)/23=72.43
直接按一小时计算（6*80+20*70)/26=72.3
如果按照十五分钟平均一次浓度会更高，很简单的《高数》，毕业都还给老师了
如果还看不明白就没办法了，
应该是按照无穷短的时间段计算，就是微分了