Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝ ，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）EF 2 =4OD?OP，证明见解析；（3） ， .

试题分析：（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论； （2）先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可； （3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA 2 =OD?OP，代入数据即可得出PE的长. 试题解析：（1）如图，连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°. ∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB. 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）. ∴∠PAO="∠PBO=90°." ∴直线PA为⊙O的切线. （2）EF 2 =4OD?OP，证明如下： ∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°. ∴∠OAD="∠OPA." ∴△OAD∽△OPA. ∴ ，即OA 2 =OD?OP. 又∵EF=2OA，∴EF 2 =4OD?OP. （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD= BC=3（三角形中位线定理）. 设AD=x， ∵tan∠F= ，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3） 2 =x 2 +3 2 ， 解得，x 1 =4，x 2 =0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5. ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°. 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB= . ∵OA 2 =OD?OP，∴3（PE+5）=25.∴PE= .