Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π 2 ），在同一个周期内，当x= π 4

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π 2 ），在同一个周期内，当x= π 4 时y取最大值1，当x= 7π 12 时，y取最小值-1．（1）求函数的解析式f（x）；（2）若函数f（x）满足方程f（x）= 1 2 ；求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

（1）由题意，得 周期T= 2π ω =2（ 7π 12 - π 4 ），解得ω=3 又∵当x= π 4 时y取最大值1 ∴sin（ 3π 4 +φ）=1，结合|φ|＜ π 2 可得φ=- π 4 因此函数的解析式为f（x）=sin（3x- π 4 ）； （2）∵f（x）=sin（3x- π 4 ）的周期为 2π 3 ∴函数在[0，2π]内恰有3个周期， 并且方程 sin(3x- π 4 )= 1 2 在[0，2π]内有6个实根， 且x 1 +x 2 = π 2 ， 同理可得x 3 +x 4 = 11π 6 且x 5 +x 6 = 19π 6 ∴f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和为： π 2 + 11π 6 + 19π 6 = 11π 2 ．