Question

设当x→0时，（1?x2-1）ln（1+x2）是比ln（1+xn）高阶的无穷小，而ln（1+xn）是比lncosx高阶的无穷小，则

设当x→0时，（1?x2-1）ln（1+x2）是比ln（1+xn）高阶的无穷小，而ln（1+xn）是比lncosx高阶的无穷小，则正整数n等于（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

∵当x→0时，（

1?x2

-1）ln（1+x²）是比ln（1+xⁿ）高阶的无穷小，
∴0＝

lim

x→0

( 1?x2?1 )ln(x2+1)

ln(1+xn)

=

lim

x→0

?x2?x2

xn( 1?x2 +1)

=?

1

2

lim

x→0

x4

xn

，可知n≤3．
又∵ln（1+xⁿ）是比lncosx高阶的无穷小，
∴0＝

lim

x→0

ln(1+xn)

lncosx

=

lim

x→0

xn

ln(1+cosx?1)

=

lim

x→0

xn

? 1 2 x2

，可知n≥3．
因此n=3．
故答案选：C．