Question

在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长C

在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（　　）A．5(32)2010B．5(94)2011C．5(94)2009D．5(32)4020

Answer 1

如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和△A₁BA中，

∠AOD＝∠ABA1＝90° ∠ADO＝∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴OD：AO=AB：A₁B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此类推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

倍，
∴第2011个正方形的边长为（

3

2

）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴第2011个正方形的面积为[（

3

2

）²⁰¹⁰BC]²=5（

3

2

）⁴⁰²⁰．
故选D．