Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则

a?b+c＝0 16a+4b+c＝0 c＝4

，
解得：

a＝?1 b＝3 c＝4

，
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；

（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），
则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP₂，AC交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），
则n=（-n²+3n+4）+4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
则P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC=

OC2+OA2

=4

2

，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=

1

2

OC=2，
∴点P的纵坐标是2．
则-

Answer 2

楼上第三问没有做完，求第三问的看这！！！

（3）

∵该二次函数的解析式为y=-x²+3x+4（把点A,B,C坐标带入可求）

设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，-m²+3m+4）

∴点E的坐标为（0，-m²+3m+4）

∵AC所在直线的函数解析式为y=-x+4（带入点A,C两点坐标可求）

又∵点D，P纵坐标相等，把点D纵坐标带入求得点D的坐标为（m²-3m，-m²+3m+4）

∵点D，F横坐标相等  ∴点F的坐标为（m²-3m，0）

根据两点之间的坐标公式可用m表示EF两点之间的距离

为√（m²-3m）²+（-m²+3m+4）²

（注意那个根号符号，（m²-3m）²+（-m²+3m+4）²都在根号里面）

设（-m²+3m）为a，则有√a²+（a+4）²（注意那个根号符号，a²+（a+4）²都在根号里面）

化简得√2（a+2）²+8（注意那个根号符号，2（a+2）²+8都在根号里面）

当a=-2时该代数式最小

∴-m²+3m=-2       解得m=（3±√17）/ 2

∵-m²+3m=-2    ∴-m²+3m+4=2（即点P纵坐标为2）

∴点P的坐标为（3+√17/ 2 ， 2）或（3-√17/ 2 ， 2）

（注意最后答案P的坐标中3±√17是一个整体）

看第二幅图