Question

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的长

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的长为（　　）A．2pB．pC．p2D．4p

Answer 1

假设k存在，设AB方程为：y=k（x-

p

2

），
与抛物线y²=2px（p＞0）联立得k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0，
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠CBF=90°，∴（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0（x₁＞0），∴x₁=

5 ?2

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，∴x₂=

2+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=（x₂+

p

2

）-（x₁+

p

2

）=2p，
故选：A．