Question

（2003?天津）已知，如图⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC

（2003?天津）已知，如图⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC；（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2．求ABAC的值．

Answer 1

解答：（1）证明：过点A作两圆的内公切线交BC于点O．
∵OA、OB是⊙O₁的切线，
∴OA=OB．
同理OA=OC，
∴OA=OB=OC．
于是△BAC是直角三角形，∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．

（2）解：连接OO₁、OO₂与AB、AC分别交于点E、F．
∵OA、OB是⊙O₁的切线．
∴OO₁⊥AB，
同理OO₂⊥AC．
根据（1）的结论AB⊥AC，可知四边形OEAF是矩形，有∠EOF=90°．
连接O₁O₂，有OA⊥O₁O₂．在Rt△O₁OO₂中，有Rt△O₁AO∽Rt△OAO₂，
∴

OA

O2A

＝

O1A

OA

，
于是OA²=O₁A?O₂A=r₁?r₂=2r₂²，
∴OA=

2

r²，
又∵∠ACB是⊙O₂的弦切角，
∴∠ACB=∠AO₂O．
在Rt△OAO₂中，tan∠AO₂O=

OA

O2A

＝

2

，
∴

AB

AC

=tan∠ACB=tan∠AO₂O=

2

．