Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；（2）若f（ 1 3 ）=-1，求满足不等式f（x）-f（ 1 x-2 ）＞2的x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x?y）=f（x）+f（y）， ∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1）， ∴f（1）=0． 设x 1 ，x 2 ∈（0，+∞）且x 1 ＜x 2 ， 则 x 2 x 1 ＞1， ∴f（ x 2 x 1 ）＞0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）-f（ x 2 x 1 ?x 1 ）=f（x 1 ）-f（ x 2 x 1 ）-f（x 1 ）=-f（ x 2 x 1 ）＜0 ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ）， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数． （2）令x= 1 3 ，y=1得，f（ 1 3 ×1）=f（ 1 3 ）+f（1），∴f（1）=0． 令x=3，y= 1 3 得，f（1）=f（3× 1 3 ）=f（3）+f（ 1 3 ）， ∵f（ 1 3 ）=-1，∴f（3）=1． 令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2， ∴f（x）-f（ 1 x-2 ）＞f（9），f（x）＞f（ 9 x-2 ） ∴ x＞0 x-2＞0 x(x-2)＞9 ， 解得x＞1+ 10 ． ∴x的取值范围为（1+ 10 ，+∞）