Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（acosB+bcosA）cos2C=c?cosC．（1）求角C；（2）若b=2a

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（acosB+bcosA）cos2C=c?cosC．（1）求角C；（2）若b=2a，△ABC的面积S=32sinA?sinB，求sinA及边c的值．

Answer 1

（1）已知等式利用正弦定理化简得：（sinAcosB+sinBcosA）cos2C=sinCcosC，
整理得：sin（A+B）cos2C=sinCcosC，即sinCcos2C=sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cos2C=cosC，即2cos²C-cosC-1=0，
整理得：（2cosC+1）（cosC-1）=0，
∴cosC=-

1

2

或cosC=1，
又0＜C＜π，
∴cosC=-

1

2

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵b=2a，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+（2a）²-2a?（2a）?（-

1

2

）=7a²，
∴c=

7

a，
又由正弦定理得：sinC=

7

sinA，
∵sinC=

3

2

，
∴sinA=

21

14

，
∵S=

1

2

absinC，S=

3

2

sinA?sinB，
∴

1

2

absinC=

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