Question

（附加题-选做题）（几何证明选讲）如图，圆O与圆O1外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A、B两点，AC为

（附加题-选做题）（几何证明选讲）如图，圆O与圆O1外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A、B两点，AC为圆O的直径，T为圆O1上任点，CT=AC．求证：CT为圆O1的切线，切点为T．

Answer 1

证明：设圆O的半径为r，圆O₁的半径为R（R＞r）过点O₁作O₁E⊥AC，垂足
为E，则O₁E²=AB²=（R+r）²-（R-r）²=4Rr
连接O₁C，则O₁C²=O₁E²=C₁E²=4Rr+（2R-r）²=4R²+r²
因为CT²=AC²=4r²，O₁T²=R²
所以O₁C²=CT²+O₁T²，
所以三角形O₁CT为直角三角形，
O₁T⊥TC所以CT为圆O₁的切线，切点为T