Question

如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC

如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．（Ⅰ）求证：DM∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅲ）求三棱锥M-BCD的体积．

Answer 1

（1）∵△PAB中，D为AB中点，M为PB中点，
∴DM∥PA
∵DM?平面PAC，PA?平面PAC，
∴DM∥平面PAC…（4分）
（2）∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，
∴PD＝DB＝AD＝

1

2

AB＝10．…（5分）
∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，…（6分）
又∵AP⊥PC，PB∩PC=P，PB、PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC．            …（8分）
∵BC?平面PBC
∴AP⊥BC．                 …（10分）
又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，AP、AC?平面PAC．
∴BC⊥平面PAC．…（12分）
∵BC?平面ABC．
∴平面PAC⊥平面ABC．…（14分）
（3）由（1）知DM∥PA，由（2）知PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平面PBC．…（15分）
∵正三角形PDB中易求得DM＝5

3

，…（16分）
且S△BCM＝

1

2

S△PBC＝

1

2

?

1

2

BC?PC＝

1

4

?4?

102?42

＝2

21

．…（17分）
∴VM?BCD＝VD?BCM＝

1

3

×5

3

×2

21

＝10

7

．…（18分）