Question

已知实数x1，x2，…，xn（n∈N*且n≥2）满足|xi|≤1（i=1，2，…，n），记S(x1，x2，…，xn)＝1≤i＜j≤n

已知实数x1，x2，…，xn（n∈N*且n≥2）满足|xi|≤1（i=1，2，…，n），记S(x1，x2，…，xn)＝1≤i＜j≤nxixj．（Ⅰ）求S(?1，1，?23)及S（1，1，-1，-1）的值；（Ⅱ）当n=3时，求S（x1，x2，x3）的最小值；（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x1，x2，…，xn）的最小值．注：1≤i＜j≤nxixj表示x1，x2，…，xn中任意两个数xi，xj（1≤i＜j≤n）的乘积之和．





Answer 1

（Ⅰ）由已知得S(?1，1，?

2

3

)＝?1+

2

3

?

2

3

＝?1．
S（1，1，-1，-1）=1-1-1-1-1+1=-2．       …（3分）
（Ⅱ）n=3时，S＝S(x1，x2，x3)＝

1≤i＜j≤3

xixj＝x1x2+x1x3+x2x3．
固定x₂，x₃，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．
同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．
S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，x₃所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．
当x_k=±1（k=1，2，3）时，S＝

1

2

[(x1+x2+x3)2?(

x

2 1

+

x

2 2

+

x

2 3

)]=

1

2

(x1+x2+x3)2?

3

2

．
因为|x₁+x₂+x₃|≥1，
所以S≥

1

2

?

3

2

＝?1，且当x₁=x₂=1，x₃=-1，时S=-1，
因此S_min=-1．                  …（7分）
（Ⅲ）S＝S(x1，x2，…，xn)＝

1≤i＜j≤n

xixj=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．
固定x₂，x₃，…，x_n，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃，…，x_n），S（-1，x₂，x₃，…，x_n）}．
同理S（1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（1，1，x₃，…，x_n），S（1，-1，x₃，…，x_n）}．
S（-1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（-1，1，x₃，…，x_n），S（-1，-1，x₃，…，x_n）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，…，x_n所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃，…，x_n）}．
当x_k=±1（k=1，2，…，n）时，
S＝

1

2

[(x1+x2+…+xn)2?(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)]=

1

2

(x1+x2+…+xn)2?

n

2

．
当n为奇数时，因为|x₁+x₂+…+x_n|≥1，
所以S≥?

1

2

(n?1)，另一方面，若取x1＝x2＝…＝x

n?1

2

＝1，x

n?1

2

+1＝x

n?1

2

+2＝…＝xn＝?1，
那么S＝?

1

2

(n?1)，
因此Smin＝?

1

2

(n?1)．…（13分）