Question

已知xi>0(i=1，2，3，……n)我们知道有(x1+x2)(1/x1+1/x2)大于等于4成立 ①证明(

已知xi>0(i=1，2，3，……n)我们知道有(x1+x2)(1/x1+1/x2)大于等于4成立 ①证明(x1+x2+x3)(1/x1+1/x2+1/x3)大于等于9

Answer 1

x1、x2>0，由柯西不等式
——》(x1+x2)(1/x1+1/x2)>={v[x1*(1/x1)]+v[x2*(1/x2)]}^2=(1+1)^2=4，
同样，
x1、x2、x3>0，由柯西不等式
——》(x1+x2+x3)(1/x1+1/x2+1/x3))
>={v[x1*(1/x1)]+v[x2*(1/x2)]+v[x3*(1/x3)]}^2
=(1+1+1)^2
=9。

Answer 2

(x1+x2+x3)(1/x1+1/x2+1/x3)

=3+(x1/x2+x2/x1)+(x1/x3+x3/x1)+(x3/x2+x2/x3)

≥3+2+2+2=9   当且仅当 x1=x2=x3 时取等

推广：xi>0  (x1+x2+…+xn)(1/x1+1/x2+…+1/xn)≥n^2

该推广是柯西不等式的直接推论之一。

柯西不等式：

令ai=√xi   bi=1/√xi        则由柯西不等式直接有推广成立！

柯西不等式的证明及更多可参考：http://baike.baidu.com/view/7618.htm

Answer 3

结论不成立,你肯定漏掉什么条件了