Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则下列结论正确的有（　　）①BF=AC；②BF=2CE；③CE=BG；④DG=GH． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD， ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠DBF=∠ACD， 在△BDF与△CDA中， ∠DBF=∠ACD BD=CD ∠BDF=∠CDA=90° ， ∴△BDF≌△CDA（ASA）， ∴BF=AC，故①正确； ∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E， ∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°， ∴在△ABE与△CBE中， ∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB=90° ， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE= 1 2 AC， ∴BF=2CE，故②正确； 过F作FM垂直BC交BC于M， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵H是BC边的中点， ∴DH垂直平分BC， ∵F是CD的中点，FM⊥BC， ∴FM是△CDH的中位线， ∴FM垂直平分HC， 则BG：BF=1： 3 2 = 2 3 ， CE：BF= 1 2 所以BG：CE=4：3，故③错误； ∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D， ∴FD=FM， ∴DG=FM， 从图可知，FM＞GH， ∴DG＞GH，故④错误． 综上所述，①②共2个正确． 故选B．