Question

已知函数f（x）=-x 3 +x 2 ，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x 2 +（a+2）x恒

已知函数f（x）=-x 3 +x 2 ，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x 2 +（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（2）设F（x）= f(x)，x＜1 g(x)，x≥1 若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x 2 +（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x 2 -2x，． 由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0． 从而a≤ x 2 -2x x-lnx 恒成立，a≤（ x 2 -2x x-lnx ） min ． …（4分） 设t（x）= x 2 -2x x-lnx ，x∈[1，e]， 求导，得t′（x）= (x-1)(x+2-lnx) (x-lnx ) 2 ．…（6分） x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0， 从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数． 所以t（x） min =t（1）=-1，所以a≤-1．…（8分） （2）F（x）= - x 3 + x 2 ，x＜1 alnx，   x≥1 ， 设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点． 假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角， 则 OP ? OQ ＜0 ， 若t≤-1，P（t，-t 3 +t2），Q（-t，aln（-t））， OP ? OQ =-t 2 +aln（-t）（-t 3 +t 2 ）， 由于 OP ? OQ ＜0 恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1． 当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1．恒成立． 当t＜-1时，a＜ 1 (1-t)ln(-t) 恒成立．由于 1 (1-t)ln(-t) ＞0 ，所以a≤0．（12分） 若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t 3 +t 2 ），Q（-t，t 3 +t 2 ）， 则 OP ? OQ =-t 2 +（-t 3 +t 2 ）（t 3 +t 2 ）＜0， t 4 -t 2 +1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立．…（14分） ③当t≥1时，同①可得a≤0． 综上所述，a的取值范围是（-∞，0]．  …（16分）