已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．（1）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）≥-x3+（
已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．（1）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；...
已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．（1）若对任意x∈[1，+∞），f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对n∈N*，不等式1In(n+1)+1In(n+2)+…+1In(n+2013)＞2013n(n+2013)成立．
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（1）由对任意x∈[1，+∞]，都有f（x）+g（x）≥-x3+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，
由于x∈[1，+∞]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤
恒成立，a≤（
）min
设t（x）=
，x∈[1，+∞]，
求导，得t′（x）=
，x∈[1，+∞]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，+∞]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）由（1）得：
≥-1，x≥1，
∴lnx≤x2-3x，
∴
≥
，
∴
+
+…+
≥
+
+…+
=
（
-
+
?
+…+
-
）
=
（
+
+
-
由于x∈[1，+∞]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤
| x2?2x |
| x?lnx |
| x2?2x |
| x?lnx |
设t（x）=
| x2?2x |
| x?lnx |
求导，得t′（x）=
| (x?1)(x+2?lnx) |
| (x?lnx)2 |
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，+∞]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）由（1）得：
| x2?2x |
| x?lnx |
∴lnx≤x2-3x，
∴
| 1 |
| lnx |
| 1 |
| x(x?3) |
∴
| 1 |
| In(n+1) |
| 1 |
| In(n+2) |
| 1 |
| In(n+2013) |
≥
| 1 |
| (n+1)(n?2) |
| 1 |
| (n+2)(n?1) |
| 1 |
| (n+2013)(n+2010) |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n?2 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n?1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+2010 |
| 1 |
| n+2013 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n?2 |
| 1 |
| n?1 |
| 1 |
| n |
