Question

（1）如图1，矩形ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边AD和CD上，且AF⊥BE于O，求AFBE的值；（2）在上面

（1）如图1，矩形ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边AD和CD上，且AF⊥BE于O，求AFBE的值；（2）在上面的问题中，若AFBE=k，通过变式，我们可以得到如下的两个命题：①若将AF沿直线AB方向平移到PQ，将BE沿直线AD方向平移到RS，然后将PQ与RS同时绕点O旋转（保持PQ与RS垂直），则PQRS=k；②设P、R、Q、S依次是矩形的边AB、BC、CD、DA上的点，若=k，则PQ⊥RS．（Ⅰ）判断命题的真假性：①______；②______；（在横线上填“真命题”或“假命题”）（Ⅱ）若其中有假命题，请你在图3中，用画图的方法举反例进行说明；若以上两个命题都是真命题，请选择其中一个给予证明．

Answer 1

（1）如图1，∵AF⊥BE
∴△ABE∽△DAF
∴

AF

BE

＝

AD

AB

＝

3

2

；

（2）（Ⅰ）①是真命题；②是假命题；
（Ⅱ）①的证明：
如图2，作PF⊥CD于点F，作RE⊥AD于点E，当PQ⊥SR时，
可得△RES∽△PFQ，
∴

PQ

RS

＝

PF

RE

＝

BC

AB

＝

3

2

②的反例：
如图3，作SR′=SR，图中

PQ

SR′

＝

PQ

SR

＝

3

2

，
但PQ与SR′不垂直．