Question

已知：如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分别为垂足，

已知：如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分别为垂足，BF交⊙O于G，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB，D为垂足，连接OC、CG．下列结论，其中正确的有（　　）①CD=CF=CE； ②EF2=4AE?BF；③AD?DB=FG?FB； ④MC?CF=MA?BF．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④

Answer 1

∵MN与圆O相切于点C，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵AB为圆O直径，
∴AC⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-∠DAC=∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠AEC=∠ADC=90°，
在Rt△AEC和Rt△ADC中，

∠AEC＝∠ADC ∠ACE＝∠ACD AC＝AC

，
∴Rt△AEC≌Rt△ADC（AAS），
∴CD=CE，
同理，Rt△BCD≌Rt△BCF，
∴CD=CE=CF，
故①正确；

由①的过程知：∠ACE=∠DBC=∠FBC，
∵∠AEC=∠CFB=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△CBF，
∴

AE

CF

＝

CE

BF

，
∴CE?CF=AE?BF，
由①的结论知，CE=CF=

1

2

EF，
∴

1

4

EF²=AE?BF
∴EF²=4AE?BF，
故②正确；

由①过程知，Rt△BCD≌Rt△BCF
∴DB=FB…（1）
∵MN为⊙O切线，
∴∠FCG=∠FBC=∠ABC=∠ACE，
由①结论知，CE=CF，
∵∠AEC=∠GFC=90°，
在Rt△ACE和Rt△GCF中，

∠AEC＝∠GFC CE＝CF ∠ACE＝∠FCG

，
∴Rt△ACE≌Rt△GCF（ASA），
而由①的过程知，Rt△ACE≌Rt△ACD，
∴Rt△ACD≌Rt△GCF，
∴AD=FG…（2）
由（1）（2）得到：AD?DB=FG?FB；
故③正确；

∵∠M=∠M，∠AEM=∠ADC，
∴△AME∽△CMD，
∴

MC

DC

＝

MA

AE

，
∵AE=AD，
∴

MC

DC

＝

MA

DA

，
∴

MC

MA

＝

MA

DA

，…（3）
又∵Rt△ACD∽Rt△BCF，
∴

DC

DA

＝

BF

CF

，…（4）
由（3）（4）得到：

MC

MA

＝

BF

CF

，
∴MC?CF=MA?BF；
故④正确．
故选D．