Question

如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、M

如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME.（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；（2）求证：AB－AC＝2DM.

Answer 1

（1） ；（2）证明见解析.

试题分析：（1）根据三角函数求得AE和AD的长，二者的差就是所求. （2）延长CD交AB于点F，证明MD是△BCF的中位线，AF=AC，据此即可证得． （1）直角△ABE中，AE= AB= ， 在直角△ACD中，AD= AC= ， 则DE=AE-AD= - = . 如图，延长CD交AB于点F． 在△ADF和△ADC中，∠FAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADF＝∠ADC，∴△ADF≌△ADC（ASA）.∴AC=AF，CD=DF. 又∵M是BC的中点，∴DM是△CBF的中位线.∴DM= BF= （AB-AF）= （AB-AC）. ∴AB-AC=2DM．