Question

如图一，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF连

接DE,DF,EF,求证：△DEF为等腰直角三角形（两种解法）

Answer 1

证明：延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FG

∵D为线段AB的中点
∴AD=BD
在△EDA和△GDB中，

∴△EDA≌△GDB（SAS）
∴EA=GB，∠A=∠GBD
∵△ACE与△BCF都是等腰直角三角形
∴AE=CE=BG，CF=FB，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ECF=90°，∠FBG=∠FBD+∠GBD=90°
在△ECF和△GBF中，

∴△ECF≌△GBF（SAS）
∴EF=GF，∠EFC=∠GFB
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°
在△EFD和△GFD中，

∴△EFD≌△GFD（SSS）
∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°，ED=DF
∴△DEF为等腰直角三角形
知识点：三角形全等之倍长中线

Answer 2

倍长ED至M，使ED=DM，连BM，FM，易证得△ECF≌△FMB，可得EF=FM,∠MFB=∠EFC，再证△EDF≌△FDM，通过角CFD+角DFM+角MFB=90=角EFC+角CFD+角DFM可知EFD=45°……后面不用说了