Question

已知：二次函数y=x 2 -2（m-1）x+m 2 -2m-3，其中m为实数．（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图

已知：二次函数y=x 2 -2（m-1）x+m 2 -2m-3，其中m为实数．（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x 1 ，0）、B（x 2 ，0），且x 1 、x 2 的倒数和为 2 3 ，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

（1）∵△=b 2 -4ac=[-2（m-1）] 2 -4（m 2 -2m-3）=4m 2 -8m+4-4m 2 +8m+12=16＞0， ∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）∵x 1 +x 2 =2（m-1），x 1 x 2 =m 2 -2m-3， 1 x 1 + 1 x 2 = 2 3 ， 即 x 1 + x 2 x 1 x 2 = 2 3 ， 2(m-1) m 2 -2m-3 = 2 3 ， 解得m=0或5， 二次函数解析式为：y=x 2 +2x-3或y=x 2 -8x+12．