Question

已知：二次函数y=x^2-2(m-1)x+m^2-2m-3,其中m为实数. (1)求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴

比有两个交点；
(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为2/3,求这个二次函数的解析式.

Answer 1

（1）证明：Δ＝4(m-1)^2-4(m^2-2m-3)=4m^2-8m+4-4m^2+8m+12=16＞0
所以此二次函数图像与x轴总有两个交点。
(2)由韦达定理，得x1+x2=2(m-1)，x1*x2=m^2-2m-3
因为1/x1+1/x2=2/3，所以（x1+x2)/x1*x2=2/3
则有2(m-1)/(m^2-2m-3)=2/3
解得，m=0或5
所以这个二次函数的解析式为y=x^2+2x-3或y=x^2-8x+12

Answer 2

解：
(1)b^2-4ac=4(m-1)^2-4(m^2-2m-3)=4+14=16>0
所以
y=0时
x恒有两实根
(2)x1,x2的倒数和为(x1+x2)/(x1*x2)=-b/c=2/3
2(m-1)/(m^2-2m-3)=2/3
3(m-1)=m^2-2m-3
即m^2-5m=0
m=5或0
代入即得表达式

Answer 3

（1）依题意得：
a=1， b=-2（m-1），c=m平方-2m-3
所以b平方-4ac=[-2（m-1）]平方-4x1x（m平方-2m-3）=4（m-1）平方-4（m-1）平方+16=16＞0
即b平方-4ac＞0
所以无论m取何实数、、、、、（省略答）
（2）「用根与系数的关系即x1+x2=-a份之b，x1•x2=a分之c」

Answer 4

(1)令x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0,则
△=[-2(m-1)]2-4(m2-2m-3)
=4(m2-2m+1)-4m2+8m+12
=4m2-8m+4-4m2+8m+12
=16＞0
所以，此一元二次方程恒有两个不相等的实数根。
即不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴都有两个交点。
(2)二次函数与x轴有两个交点，即一元二次方程x2-2(m-1)x+m2-2m+3=0有两个实数根
由根与系数的关系得
x1+x2 = 2(m-1) x1x2 = m2-2m-3
因为 + = =
即 =
6(m-1)=2(m2-2m-3)
2m2-10m=0
2m (m-5)=0
所以m1=0,m2=5
把m的值分别代入二次函数中，得
二次函数的解析式为y= x2+2x-3 或y=x2-8x+12