Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 f（x）在（0，+∞）单调递增，若f（1）=0，则不等式f（x+1）．

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 f（x）在（0，+∞）单调递增，若f（1）=0，则不等式f（x+1）．f（x）＜0的解集是______．

Answer 1

∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数y=f（x）的图象关于原点对称．
∵f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∴函数y=f（x）的图象过点（1，0），（-1，0）．
∵f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）单调递增．
∵不等式f（x+1）．f（x）＜0，
∴

f(x+1)＞0 f(x)＜0

或

f(x+1)＜0 f(x)＞0

，
∴

?1＜x+1＜0或x+1＞1 x＜?1或0＜x＜1

或

x+1＜?1或0＜x+1＜1 ?1＜x＜0或x＞1

，
∴-2＜x＜-1或0＜x＜1或-1＜x＜0，
∴x∈（-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）．
故答案为：（-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）．