Question

已知函数f（x）=sin2x+23sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2

已知函数f（x）=sin2x+23sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[-π6，π3]上的值域．（3）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，
∴f（x）=1+

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
故函数的最小正周期为T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[?

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[?

1

2

，1]，
故函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2的值域为[1，4]．
（3）∵函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，其对称轴满足2m+