Question

已知函数f（x）=23sinxcosx+2sin2x+3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若f（α2）

已知函数f（x）=23sinxcosx+2sin2x+3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若f（α2）=265，求sin（2α+π6）的值；（Ⅲ）当x∈[-π2，0]时，若f（x）≥log2t恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x+3=2sin（2x-

π

6

）+4，
∴函数f（x）的最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
即函数的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，得sin（α-

π

6

）=

3

5

；
sin（2α+

π

6

）=cos[（2α+

π

6

）-

π

2

]=cos（2α?

π

3

）=1-2sin²（α-

π

6

）=1-2（

3

5

） 2＝

7

25

．
（Ⅲ）当x∈[-

π

2

，0]时，-

7π

6

≤2x-

π

6

≤?

π

6

，
则f（x）=2sin（2x-

π

6

）+4的最小值为2，
若f（x）≥log₂t恒成立，
log₂t≤2，即0＜t≤4，
则t的取值范围是（0，4]．