Question

（2014?陕西一模）如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在平面

（2014?陕西一模）如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在平面，且AB=2AD=2．（Ⅰ）求证：EA⊥EC；（Ⅱ）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F， ①求证：EF∥AB； ②若EF=1，求多面体ABCDEF的体积V．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵E是半圆上异于A、B的点，∴AE⊥EB，
又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，
由面面垂直性质定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，
且二面交线为EB，由面面垂直性质定理得：AE⊥平面ABE，
又EC在平面ABE内，故得：EA⊥EC…（4分）
（Ⅱ①证明：由CD∥AB，得CD∥平面ABE，
又∵平面CDE∩平面ABE于直线EF，
∴根据线面平行的性质定理得：CD∥EF，CD∥AB，故EF∥AB               …（7分）
②解：分别取AB、EF的中点为O、M，连接OM，则在直角三角形OME中，OM=

3

2

，
∵矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在平面，OM⊥AB，
∴OM⊥平面ABCD，即OM为M到面ABCD之距，
又∵EF∥AB，∴E到到面ABCD之距也为OM=

3

2

，…（9分）
∴V=V_D-AEF+V_E-ABCD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1+

1

3

×2×1×

3

2

=

5 3

12

           …（12分）