Question

（2014?四川模拟）如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点，E为A

（2014?四川模拟）如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点，E为A1B1的中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离；（3）求二面角A-BD-C的正切值．

Answer 1

解答：（1）证明：连结C₁E，则C₁E⊥A₁B₁，
又∵A₁B₁⊥C₁C，∴A₁B₁⊥平面EDC₁，∴A₁B₁⊥DE，
而A₁B₁∥AB，∴AB⊥DE．…（3分）
（2）解：取AB中点为F，连结EF，DF，则EF⊥AB，∴AB⊥DF．
过E作直线EH⊥DF于H点，则EH⊥平面DAB，∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离．
在矩形C₁EFC中，∵AA₁=AB=2，∴EF=2，C₁E=

3

，DF=2，
∴在△DEF中，EH=

3

，…（7分）
故直线A₁B₁到平面DAB的距离为

3

．
（3）解：过A作AM⊥BC于M点，则AM⊥平面CDB，
过M作MN⊥BD于N点，连结AN，则AN⊥BD，∴∠ANM即为所求二面角的平面角，
在Rt△DCB中，BC=2，DC=1，M为BC中点，∴MN=

5

5

，
在Rt△AMN中，tan∠ANM=

AM

MN

＝

15

…（12分）