Question

如图，椭圆x24+y23＝1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．（1）若A

如图，椭圆x24+y23＝1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．（1）若AB＝λBC，求实数λ的值；（2）设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）由条件得F(?1，0)，A(0，

3

)，kAF＝

3

．
因为AB⊥AF，
所以kAB＝?

3

3

，AB：y＝?

3

3

x+

3

．
令y=0，得x=3，
所以点C的坐标为（3，0）．
由

y＝? 3 3 x+ 3 x2 4 + y2 3 ＝1

得13x²-24x=0，解得x₁=0（舍）x2＝

24

13

．
所以点B的坐标为(

24

13

，

5 3

13

)．
因为

AB

＝λ

BC

，所以λ＞0，且λ＝

| AB |

| BC |

＝

24 13

3? 24 13

＝

8

5

．
（2）因为△ACF是直角三角形，
所以△ACF的外接圆的圆心为D（1，0），半径为2．
所以圆D的方程为（x-1）²+y²=4．
因为AB为定值，
所以当△PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大．
过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点．
直线m：y＝

3

(x?1)与（x-1）²+y²=4联立得x=2（舍）或x=0，
所以点P的坐标为（0，-

3

）