Question

已知F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于A，P两点，直线PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于另一点B，且PA垂

已知F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于A，P两点，直线PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于另一点B，且PA垂直于PB，求椭圆离心率

Answer 1

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)F(√(a^2-b^2),0) P(√(a^2-b^2),b^2/a) A(-√(a^2-b^2),-b^2/a)
直线AF方程：y=b^/(2a√(a^2-b^2)(x-√(a^2-b^2))
与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1联立解得：
B(√(a^2-b^2)*(-b^2+4*a^2)/(4*a^2-3*b^2)，b^4/[a(4*a^2-3*b^2)])

向量AP=（2√(a^2-b^2)，2b^2/a）
向量BP=(√(a^2-b^2)-√(a^2-b^2)*(-b^2+4*a^2)/(4*a^2-3*b^2),b^2/a-b^4/[a(4*a^2-3*b^2)])
∵PB垂直于PA
∴(a^2-b^2)-(a^2-b^2)*(-b^2+4*a^2)/(4*a^2-3*b^2)+b^4/a^2-b^6/[a^2(4*a^2-3*b^2)]=0
-2*b^2*(a^4-3*a^2*b^2+2*b^4)/a^2/(4*a^2-3*b^2)=0

(a^2-b^2)^2=(a^2*-b^2)b^2

c^4=c^2(a^2-c^2)
e^4=e^2(1-e^2)
2e^4=e^2
2e^2=1
e=√2/2

追问

我看到网上的答案了，我没求出B的坐标，能告诉我怎么求出来的吗？

追答

B的坐标是通过直线AF的方程与椭圆的方程联立的方程组求出来的，
其中一个解是A的坐标，一个解是B的坐标，就是这么求出来的（用△求解），计算有点复杂，要步步小心

追问

哦，用韦达定理吧！

追答

嗯，是的。如果能解决你问题的话，不要忘记采纳哦。

追问

好