Question

△abc中 角abc对边分别为abc且2b*cosa-ccosa=acosc若a=根号7，b+c=4 求三角形abc的面积

Answer 1

2b*cosa-ccosa=acosc
2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC
2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB
cosA=1/2, A=π/3
a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-2bc-2bccosA=16-3bc=7
bc=3
S=1/2bcsinA=3√3/4

Answer 2

解:2b*cosa-ccosa=acosc
(2b-c)/a=cosC/cosA
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cocC/cosA=c(a^2+b^2-c^2)/a(b^2+c^2-a^2)=(2b-c)/a
c(a^2+b^2-c^2)=(b^2+c^2-a^2)(2b-c)
将a^2=7代入
c(7+b^2-c^2)=(b^2+c^2-7)(2b-c)
7c+b^2c-c^3=2b^3+2bc^2-14b-cb^2-c^3+7c
b^2=2b^3-14b-b^2c+2bc^2
2b^2c-2bc^2=2b^3-14b
bc+7=b^2+c^2
(b+c)^2=3bc+7
b+c=4
16=3bc+7
bc=3
b+c=4
得b=1 c=3
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(1+9-7)/6=1/2
sinA=√3/2
S△abc=1/2bcsinA
=1/2×3×√3/2
=3√3/4
此题如果是初中题,应该采用这种方法;如果是高中题,可以采用xiaoqiang1969的两角和的三角函数公式求解.