Question

设A为正交阵，且〔A〕=-1，证明b=-1是A的特征值

Answer 1

A正交，则A的特征值的模是1又detA=－1=所有特征值的乘积，共轭复特征值成对出现所以必有特征值是－1。

设A的特征值为λ，有Aα = λα (α≠0)，(A^T)A=E

等式左边乘于A的转置A^T，右边乘于α ^T，得α(α ^T) = λ(A^T)α(α ^T)，取行列式得：

|α(α ^T)| = λ |(A^T)| |α(α ^T)|，又|A^T|=detA=-1，故λ=-1

方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量或列向量是标准正交向量。

扩展资料

1、正交矩阵一定是对实矩阵而言的。

2、正交矩阵不一定对称，也不一定可以对角化。

3、正交矩阵的特征值为正负1或者cos(t)+isin(t)，换句话说特征值的模长为1。

4、正交矩阵的行列式肯定是正负1，正1是叫第一类，负1时叫第二类。

5、对称的正交矩阵不一定是对角的，只是满足A'=A=A^{-1}，例如副对角线全为1，其余元素都为零的那个方阵就是这种类型。

6、正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵，但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。

7、正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的，并且任意两个行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量组成R^n的一组标准正交基。

8、正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1，如果有一个元素为1，那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。

9、一个对称矩阵，如果它的特征值都为1或者-1，那么这个矩阵一定是对称的正交矩阵。

10、如果b是一个n维单位实列向量，则E_n-2bb'是一个对称正交矩阵.因为E_n-2bb'的特征值为1(n-1重)，-1(1重)，同时还是一个对阵矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵

Answer 2

A为正交阵,即A^T A=E，设A的转置为A'
有 | E + A | = | A'A + A |
= |A|| A' +E|
=-| (A + E)' |
=-| E + A |
所以 | E + A | = 0
就是说 | A - （-E）| =0
这就说明-1是他的一个特征根

Answer 3

先证明因为A为正交矩阵，A的特征值为-1或1，设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量，即有Ax=入x，且x≠0.两边取转置得X^TA^T=入x^T所以x^TA^TAx=入^2x^Tx，因为A是正交矩阵所以A^TA=E，所以x^Tx=入^2x^Tx，由x≠0知x^Tx是一个非零的数，故入^2=1，所以入=1或-1。
因为A等于所有特征值之积，又|A|=-1，所以必有奇数个特征值为-1，即=-1是A的特征值。

Answer 4

因为特征值都大于零所以a的行列式deta=1,所以a*=deta*(a^-1)=a^-1=a^t