Question

用错位相减法求和：1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）·3的n次方

Answer 1

let
S =1.3^1+3.3^2+5x3^3+...+(2n-1).3^n (1)
3S= 1.3^2+3.3^3+5x3^3+...+(2n-1).3^(n+1) (2)
(2)-(1)
2S =(2n-1).3^(n+1) -2(3^1+3^2+...+3^n) + 3
=(2n-1).3^(n+1) -2(3^n-1) + 3
= 5 + (4n-4).3^n
S = (1/2)[5 + (4n-4).3^n]

1.3^1+3.3^2+5x3^3+...+(2n-1).3^n
=S
=(1/2)[5 + (4n-4).3^n]

Answer 2

另3*S=1*3²+3*3³+...+(2n-1)*3的n+1次方 这式子减去原来的式子得到
3*S-S=（2n-1）*3的n+1次方 -2*（3²+3的n次方）-3

剩下的工作你自己来了

Answer 3

S=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）·3的n次方
S/3=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）·3的（n-1）次方
S-S/3=3-10-2【3²+3³+。。。+3的（n-1）次方】+（2n-1）·3的n次方
2S/3=（2n-1）·3的n次方-2【1+3+3²+3³+。。。+3的（n-1）次方】+1
=（2n-2）·3的n次方+1
S=1/2*（2n-2）·3的（n+1）次方+3/2