Question

已知y=(sinxcosx)/(2+sinx+cosx)(x∈[0,2π))，求y的值域

Answer 1

令t=sinx+cosx,则：
因为：
sinx+cosx=√2sin(x+π/4),
因此：
t∈[1,√2]
又因为：
(sinx+cosx)²=t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2
则：
y=t+(t²-1)/2
=(1/2)(t+1)²-1
因此：当t=-1时,y有最小值：-1,但t取不到,因此：根据二次函数单调性,t>-1时为增函数,于是：
当t=1时有最小值：(1/2)(1+1)²-1=1
当t=√2时,y有最大值：(1/2)(√2+1)²-1=（1+2√2）/2
因此：
该函数的值域为：[1,（1+2√2）/2]

Answer 2

解：
令t=sinx+cosx，则：
因为：
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，
因此：
t∈[1，√2]
又因为：
(sinx+cosx)²=t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2
则：
y=t+(t²-1)/2
=(1/2)(t+1)²-1
因此：当t=-1时，y有最小值：-1，但t取不到，因此：根据二次函数单调性，t>-1时为增函数，于是：
当t=1时有最小值：(1/2)(1+1)²-1=1
当t=√2时，y有最大值：(1/2)(√2+1)²-1=（1+2√2）/2

因此：
该函数的值域为：[1，（1+2√2）/2]

Answer 3

令t=sinx+cosx,则t∈[-√2,√2],sinxcosx=½(t²-1)
∴f(t)=½[(t²-1)/(2+t)]
=½[(t²-4)+3]/(t+2)
=½[(t-2)+3/(t+2)]
=½[(t+2)+3/(t+2)-4]
≥½[2√3-4]=√3-2,
(t=√3-2时,取等号).
又最大值=f(-√2)=1/[2(2-√2)]=¼(2+√2).
∴y∈[√3-2,¼(2+√2)]

追答

补充:
t=sinx+cosx=√2sin(x+¼π)
∵x∈[0,2π)∴x+¼π∈[¼π,9π/4),
∴√2sin(x+¼π)∈[-√2,√2].

即t∈[-√2,√2].