Question

高中解析几何问题

椭圆x^2/25+y^2/9=1上有不同的三点A(x1,y1),B(4, 9/5),C(x2,y2)与右焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证线段AC的垂直平分线过定点

Answer 1

我想应该是这样吧：

AF、BF、CF成等差数列 → 它们的横坐标 x1、4、x2 成等差数列
（这是由焦半径公式P=a-ex 推出来的，而且，x1，x2在区间[3,5]之间）
可设x1=4-t ；x2=4+t ，数列形式：4-t 、4、4+t
则x1+x2=8 ；中点横坐标x’=（x1+x2）÷2=4
又设中点纵坐标为y‘，则AC的中点坐标（4，y‘）
可知（4，y'）在BF上.（但y`既不为零，也不与B点重合）

把A(x1，y1)，C（x2，y2）代入椭圆方程中，
（下面用到点差法，老师应该讲过的，凡是遇到圆锥弦中点问题都应该考虑一下点差法哦.）

作差整理有：
（y1-y2)/(x1-x2)=AC的斜率k= - b²/a² × （x1+x2）/ （y1+y2）
= - b²/a² × 4/y’ (这里可以化为中点坐标公式)
则垂直平分线的斜率K为 a²/b² × y’/4
把a、b带入，有K=25 × y‘/36
这时垂分线方程为：
y-y‘=25×y’/36 × （x-4）
整理，得：
y=[25 × /36 × （x-4）+ 1] ×y‘
→
y/y’ - 1=25/36 × （x-4）

这时候，想办法把烦人的y'消掉就可以了了，因为它是一个干扰的参数.
可以令y=0，这时X有定值，也就是说，无论y'怎么变，直线都得乖乖地过定点了.

定点是（64/25，0）

我的证法是这样的吧，说实话我没怎么接触证明题，因为这类题对我们文科生要求不高。所以希望你能够批判地借鉴一下哦..
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对了，因为x1≠4≠x2，说明直线AC与椭圆相交有两个交点，可以使用点差法.（要说名这步骤才能得满分的.）