Question

数学题 二次函数

已知二次函数Y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于A（-2,0）B（m,0)且1小于m,m小于2，与y轴的正半轴的交点c在(0,2)的下方，请判断下列结论的正误
1，2a-b小于0 2， a+2大于0 并说明理由

Answer 1

解：两个结论都对。理由如下：
对于结论1分析：
∵图像交y正半轴 且与x轴的两个交点分布在y轴两旁
∴ 开口只能向下 a＜0
（如果某抛物线交y轴于正半轴且与x轴两交点在y轴同旁，那么它开口 可上也可下）
∵只有当 m = 2 时 ，对称轴才会是 y 轴
而现在 1 ＜m ＜2 （您可理解为抛物线在以y轴为对称轴的基础上向左平移了）
∴ 对称轴 必在 y 轴的左侧 且 在 --1 的 右侧。
∴ -- b/ 2a ＞ --1
解得 2a --b ＜ 0 （解不等式时注意两边同乘负数时要改变不等号方向）

对于结论1，您也可把A点坐标代入抛物线关系式得4a-2b+c=0
故 2a -- b = -- c /2
图像交y轴正半轴，故c＞0 则 -- c/2 ＜0
故 2a -- b ＜ 0。

对于结论2 分析：
由题意 及图像知 开口向下，当x = m 时，y=0； 而1＜m，所以当 x =1 时 y ＞0
把x=1代入则有 a+ b + c ＞0
∴c ＞ -- （ a + b ）
而 C在（0,2）下方， 故c ＜ 2 而c＞-- （a+b）
∴ --（ a + b ）更小于 2
由 -- （ a + b ）＜ 2 得
2 + a ＞ -- b ------- （1）
而 对称轴 -- b / 2a ＜ 0 同乘以负数2a 得
-- b ＞0 -------------- （2）
由 （1）（2） 得 2 + a ＞ 0

Answer 2

1正确 代入A坐标，得4a-2b+c=0 化为2a-b=-c/2
图像与y轴正半轴有交点，所以c>0（可令x=0得y=c>0）所以-c/2<0 即 2a-b小于0
2正确。根据韦达定理，x1乘x2=c/a=-2m 所以a=-c/2m 因为0<c<2,1<m<2,所以2<2m<4,所以1/4<1/2m<1/2,所以0<c/2m<2,所以-2<-c/2m<0即-2<a<0，0<a+2<2