Question

急急急！！！求准确证明！设A,B为两个m×n矩阵，证明:r（A+B）≦r(A)+r(B)

Answer 1

证明：设R（A）＝s
R(B）=t
不妨设a1,a2.....as为A的列向量的一个极大无关组成

b1,b2....bt为B的列向量的一个极大无关组成
由于向量和它的极大无关组等价
有传递性质A＋B的列向量可由向量组a1,a2.....asb1,b2....bt线形表示
所以R（A＋B）＝（A＋B）的列秩＜＝R（a1,a2.....asb1,b2....bt)＜＝s+t=R（A)＋R(B）
R（A＋B）＜＝R（A)＋R(B）

追问

所以R（A＋B）＝（A＋B）的列秩＜＝R（a1,a2.....asb1,b2....bt)＜＝s+t=R（A)＋R(B）
R（A＋B）＜＝R（A)＋R(B）

这一部分没看懂

追答

设:A的行向量组的一个最大无关组为: A1,
B的行向量组的一个最大无关组为: B1,
C为A1,B1合在一起的向量组,
显然,C可线性表示(A+B)的行向量组.
故r(A+B) <= r(C). (1)
又:C的向量个数为:r(A)+r(B).
故r(C)<=r(A)+r(B). (2)
综合知:r(A+B)<=r(A)+r(B).

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示