如果矩阵A²=A，B²=B，试证明（A+B）²=A+B当且仅当AB=BA=0
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请注意这里是矩阵，不是代数式！！
正解：（A+B）²=A²+B²+AB+BA，代入已知条件“A²=A，B²=B，AB=BA=0”，可得原结论“（A+B）²=A+B”
正解：（A+B）²=A²+B²+AB+BA，代入已知条件“A²=A，B²=B，AB=BA=0”，可得原结论“（A+B）²=A+B”
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a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3a²+3b²+3c²
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
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