Question

求极限，这道题怎么算

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Answer 1

解：分享一种解法。∵当1≤k≤n时，1/n≤1/k≤1，2^(k/n)>1，∴n+1/n≤n+1/k≤n+1，1/(n+1)≤1/(n+1/k)≤1/(n+1/n)，因而有，2^(k/n)/(n+1)≤2^(k/n)/(n+1/k)≤2^(k/n)/(n+1/n)。对其从1到n求和，有lim(n→∞)∑2^(k/n)/(n+1)≤原式≤∑lim(n→∞)2^(k/n)/(n+1/n)。再利用定积分的定义，∵∑2^(k/n)=∑2^(k/n)(n/n)=n∫(x=0,1)2^xdx=n/(ln2)，∴lim(n→∞)(1/ln2)[n/(n+1)]≤原式≤lim(n→∞)(1/ln2)[n/(n+1/n)]。由夹逼定理可得，原式=1/ln2。供参考。

追问

亲还在吗？这个地方还不明白求指导，谢谢

追答

∑2^(k/n)(n/n)表示的是"∑(n/n)*[2^(k/n)]，不是“∑2^[(k/n)*(n/n)]”。因而，∑(n/n)*[2^(k/n)]=n∑(1/n))[2^(k/n)]=n∫(x=0,1)(2^x)dx=n/ln2。

追问

谢谢！