Question

设f(x)<0,f(0)=0,证明:对任意x1>0,x2>0,有f(x1+x2)<f(x1)+

设f(x)<0,f(0)=0,证明:对任意x1>0,x2>0,有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

不妨设x1>=x2。 由微分中值定理，存在c1位于(0，x2)和c2位于(x1，x1+x2)，使得 f(x2)-f(0)=f'(c1)x2 f(x1+x2)-f(x1)=f'(c2)x2， 注意到f''(x)<0，于是f'(x)是递减函数，于是 f'(c1)>f'(c2)，故有 f(x1+x2)-f(x1)=f'(c2)x2<f'(c1)x2=f(x2) 移项得结论。