Question

高一数学，对数函数

Answer 1

（1）因为f(x)关于原点对称，所以定义域也关于原点对称
(1-mx)/(x-1)>0
(mx-1)(x-1)<0
因为x的取值范围关于原点对称，所以1/m=-1，m=-1
（2）因为f(x)关于原点对称，所以f(x)是奇函数，下面证明一下
f(x)=log[a,(1+x)/(x-1)]
f(-x)=log[a,(1-x)/(-x-1)]=log[a,(x-1)/(x+1)]=-log[a,(x+1)/(x-1)]=-f(x)
所以f(x)是奇函数
（3）设x1>x2>1
f(x1)-f(x2)=log[a,(x1+1)/(x1-1)]-log[a,(x2+1)/(x2-1)]
=log{a,[(x1+1)/(x1-1)]*[(x2-1)/(x2+1)]}
=log[a,(x1x2-x1+x2-1)/(x1x2+x1-x2-1)]
=log{a,[1-2(x1-x2)/(x1-1)(x2+1)]
因为x1-x2>0，x1-1>0且x2+1>0，所以1-2(x1-x2)/(x1-1)(x2+1)<1
当0<a<1时，log{a,[1-2(x1-x2)/(x1-1)(x2+1)]>0，f(x1)>f(x2)
即f(x)在x>1上是增函数
当a>1时，log{a,[1-2(x1-x2)/(x1-1)(x2+1)]<0，f(x1)<f(x2)
即f(x)在x>1上是减函数