Question

高二数学椭圆题

已知F1、F2是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的两个焦点,P为椭圆C上一点,且向量PF1垂直向量PF2若三角形PF1F2的面积为9,则b=?
答案是：由题意知△PF1F2的面积=b²*tan90/2=b²=9
b=3
请问怎么来的？？

Answer 1

解：设|PF1|=M,|PF2|=N(M>,N>0)
则M+N=2a
△F1PF2面积为S，∠F1PF2=2θ
由余弦定理，有
cos2θ=(|PF1|²+|PF2|²-|F1F2|²)/2|PF1|×|PF2|
=(M²+N²-4c²)/2MN
=[(M+N)²-2MN-4c²]/2MN
=(4a²-4c²-2MN)/2MN
=(2b²-MN)/MN
∴MN=2b²/(1+cos2θ)
而(1/2)MNsin2θ=S
故MN=2S/sin2θ
∴2b²/(1+cos2θ)=2S/sin2θ
∴S=b²sin2θ/(1+cos2θ)
=b²×(2sinθcosθ)/[1+(2cos²θ-1)]
=b²(2sinθcosθ)/(2cos²θ)
=b²tanθ
椭圆焦点面积公式S=b²tan(∠F1PF2/2)
双曲线焦点面积公式S=b²/tan(∠F1PF2/2)

注：倍角公式sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos²α-sin²α
=2cos²α-1=1-2sin²α

Answer 2

3