Question

已知函数f(x)=-sin^2x+sinx+a （1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围。 （2）若x∈R，有1≤f(x)≤17/4,

已知函数f(x)=-sin^2x+sinx+a （1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围。 （2）若x∈R，有1≤f(x)≤17/4,求a的取值范围。

Answer 1

解：
（1）设sinx=m,则m∈[-1,1]
由f(x)=-sin^2x+sinx+a有实数解得
-m^2+m+a=0有实数解且解在[-1,1]范围内
∴△=1+4a≥0(a≥-1/4) 且 m=[1±√（1+4a）]/2∈[-1,1]
由m=[1±√（1+4a）]/2∈[-1,1]得
-1≤√（1+4a）≤1或 -1≤√（1+4a）≤3
即a≤0或-1/4≤a≤2
又∵a≥-1/4
∴a的范围是[-1/4,2]
（2）当x∈R时m=sinx∈[-1,1]
f(x)=-sin^2x+sinx+a=-m^2+m+a=-(m-1/2)^2+a+1/4
∵1≤f(x)≤17/4
∴1≤-(m-1/2)^2+a+1/4≤17/4
-17/4≤(m-1/2)^2-a-1/4≤-1
当m∈[-1,1]时(m-1/2)^2∈[0,9/4]
∴-a-1/4≤(m-1/2)^2-a-1/4≤9/4-a-1/4
∵必须满足-17/4≤(m-1/2)^2-a-1/4≤-1
∴-a-1/4≥-1且9/4-a-1/4≤-17/4
∴ 4≤a≤9
a的范围是[4,9]