Question

导数微分公式

Answer 1

【导数】
（1）（u ± v）′＝ u′± v′
（2）（u v）′＝ u′v ＋ u v′
（记忆方法：u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）
（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前）
╭ u ╮′ u′v － u v′
（4）│——│ ＝ ——————— （ v ≠ 0 ）
╰ v ╯ v²
【关于微分】
左边：d打头
右边：dx置后
再去掉导数符号′即可
【微分】
设函数u＝u（x），v＝v（x）皆可微，则有：
（1）d（u ± v）＝ du ± dv
（2）d（u v）＝ du•v ＋ u•dv
╭ u ╮ du•v － u•dv
（3）d│——│ ＝ ——————— （ v ≠ 0 ）
╰ v ╯ v²

（5）复合函数（由外至里的“链式法则”）
dy
—— ＝ f′（u）•φ′（x）
dx
其中y ＝ f（u），u ＝ φ′（x）
（6）反函数的导数：
1
[ fˉ¹（y）]′＝ —————
f′（x）
其中， f′（x）≠ 0

【导数】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的导数：
（c）′＝ 0
（2）x的α次幂：
╭ 【α】╮′ 【α － 1】
│x │ ＝ αx
╰ ╯
（3）指数类：
╭ 【x】╮′ 【x】
│a │ ＝ a lna （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╰ ╯

╭ 【x】╮′ 【x】
│e │ ＝ e
╰ ╯
（4）对数类：
╭ ╮′ 1 1
│log x│ ＝ ——log e ＝ ——— （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
╰ a ╯ x a xlna

1
（lnx）′＝ ——
x
（5）正弦余弦类：
（sinx）′＝ cosx
（cosx）′＝ －sinx
【微分】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的微分：
dC ＝ 0
（2）x的α次幂：
【α】 【α － 1】
dx ＝ αx dx

（3）指数类：
【x】 【x】
da ＝ a lnadx （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）

【x】 【x】
de ＝ e dx
（4）对数类：
1 1
dlog x ＝ ——log e ＝ ———dx （其中a ＞ 0 ，a ≠ 1）
a x a xlna

1
dlnx ＝ ——dx
x
（5）正弦余弦类：
dsinx ＝ cosxdx
dcosx ＝ －sinxdx

【导数】
（6）其他三角函数：

（tanx）′＝ ———— ＝ sec²x
cos²x

1
（cotx）′＝ － ———— ＝ －csc²x
sin²x
（secx）′＝ secx•tanx
（cscx）′＝ －cscx•cotx
（7）反三角函数：
1
（arcsinx）′＝ ——————— （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²

1
（arccosx）′＝ － ——————— （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²

1
（arctanx）′＝ —————
1＋x²

1
（arccotx）′＝ － —————
1＋x²
【微分】
（6）其他三角函数：
1
dtanx ＝ ———— ＝ sec²xdx
cos²x

1
dcotx ＝ － ———— ＝ －csc²xdx
sin²x
dsecx ＝ secx•tanxdx
dcscx ＝ －cscx•cotx dx
（7）反三角函数：
1
darcsinx ＝ ———————dx （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²

1
darccosx ＝ － ———————dx （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²

1
darctanx ＝ —————dx
1＋x²

1
darccotx ＝ － —————dx
1＋x²
•
导数的应用（一）—— 中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；
（2）在开区间（a ，b）上可导。
则：在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得
f（b）－ f（a）
f′（ξ）＝ ————————
b － a
【罗尔定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ，b〕上连续；
（2）在开区间（a ，b）上可导；
（3）在区间端点的函数值相等，即f（a）＝ f（b）。
则：在（a ，b）内至少存在一点ξ（ a ＜ ξ ＜ b ），使得f′（ξ）＝0。

导数的应用（二）——求单调性、极值（辅助作图）
【单调性】
（1）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＞ 0 ，
则f（x）在（a ，b）内单调增加；
（2）如果x ∈（a ，b）时，恒有f′（x）＜ 0 ，
则f（x）在（a ，b）内单调减少。
【极值】
若函数f（x）在点x₁处可导，且f（x）在x₁处取得
极值，则f′（x₁）＝ 0 。

导数的应用（三）——曲线的凹向与拐点（辅助作图 ）
【凹向】
设函数y ＝ f（x）在区间（a ，b）内具有二阶导数，
（1）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＞ 0 ，
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内上凹；
（2）若当x∈（a ，b）时，恒有f〃（x）＜ 0 ，
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ，b）内下凹。
【拐点】
曲线上凹与下凹的分界点。
• 2009-4-24 10:06

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•
12楼
第一类：常数的积分
∫0dx ＝ C
∫dx ＝ x ＋ C （1的积分）
∫kdx ＝ kx ＋ C
第二类：x的α次幂的积分
【α】 1 【α＋1】
∫x dx ＝ ——— x ＋ C （α ≠ 1）
α＋1
第三类：倒数的积分 【注意：绝对值】
1
∫——dx ＝ ln|x| ＋ C （x ≠ 0）
x
第四类：指数的积分
【x】 1 【x】
∫a dx ＝ ——— a ＋ C （a ＞ 0 ，a ≠ 1）
lna

【x】 【x】
∫e dx ＝ e ＋ C
第五类：三角函数的积分
∫sinxdx ＝ －cosx ＋ C
∫cosxdx ＝ sinx ＋ C
∫tanxdx ＝ －ln|cosx| ＋ C 【选记】
∫cotxdx ＝ ln|sinx| ＋ C 【选记】
∫sec²xdx ＝ tanx ＋ C
∫csc²xdx ＝ －cotx ＋ C
第六类：结果为反三角函数
1
∫————dx ＝ arcsinx ＋ C ＝ －arccosx ＋ C₁
/￣￣￣
√ 1－x²

1
∫————dx ＝ arctanx ＋ C ＝ －arccotx ＋ C₁
1＋x²