Question

求该矩阵的行列式

已知A是一个3*3的矩阵，I是3*3的标准矩阵。且：
det(A+I)=0, det(A+2I)=0, det(A+3I)=0
问det(A+4I)是多少？

我能猜到答案是6……看做对角线上是-1，-2，-3的对角矩阵
可是如何证明？
知道了det(A)，那么怎么求det(A+4I)呢？

Answer 1

三阶矩阵特征值不超过三个，重根按重数算，现在既然知道-1、-2、-3是A的特征根，那么由于所有特征根的乘积正好等于A的行列式（特征根的性质），可见det(A)=-6
A+4I的三个特征值分别是3,2,1,同样的原因，乘一块儿就行了，为6。