Question

设函数f(x)=lnx+e/x,求f(x)的极小值

设函数f(x)=lnx+e/x,求f(x)的极小值

Answer 1

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+
e
x
，
∴f′（x）=
x−e
x2
；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；
∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+
e
e
=2；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-
x
3
=
1
x
-
m
x2
-
x
3
（x＞0），
令g（x）=0，得m=-
1
3
x3+x（x＞0）；
设φ（x）=-
1
3
x3+x（x≥0），
∴φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=
2
3
；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；
可知：
①当m＞
2
3
时，函数g（x）无零点；
②当m=
2
3
时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜
2
3
时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当m＞
2
3
时，函数g（x）无零点；
当m=
2
3
或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜
2
3
时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，
f(b)−f(a)
b−a
＜1恒成立，
等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
设h（x）=f（x）-x=lnx+
m
x
-x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=
1
x
-
m
x2
-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x2+x=-(x−
1
2
)2+
1
4
（x＞0），
∴m≥
节操cKF 2014-10-23
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问题解析
（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+
<table ce
e
x
，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；
（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）-
x
3
，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；
（Ⅲ）由b＞a＞0，
f(b)−f(a)
b−a
＜1恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．