Question

已知函数fx=x+1+a/x-alnx 求函数的单调区间。

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Answer 1

解：
f'(x)=1-a/x²-a/x
(1)先考虑a=0。
a=0时，f(x)=x+1，f'(x)=1>0。
所以，f'

追答

函数在(-∞，+∞)上单调递增。

哥们，急不急的，不急的话，今夜凌晨帮你搞定。手机输入实在太慢了，还容易输错。

解：
(1)先求函数定义域。
函数定义域是(0，+∞)
(2)函数求导
f'(x)=1-a/x²-a/x=(x²-ax-a)/x²
对于x²-ax-a，Δ=a²+4a=a(a+4)
(3)
3.1，当-4≤a≤0时，Δ≤0
所以，x²-ax-a≥0
所以，f'(x)≥0
所以， -4≤a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增。

3.2，当a>0时，解不等式x²-ax-a>0
x>a/2+√(a²+4a)/2或x a/2+√(a²+4a)/2
因此，
a>0时，
函数在(a/2+√(a²+4a)/2，+∞)上单调递增。函数在(0，a/2+√(a²+4a)/2)上单调递减。
3.3，当a0
x>a/2+√(a²+4a)/2或x0。
当a0时，
f(x)在(0，a/2+√(a²+4a)/2)上单调递减。
f(x)在(a/2+√(a²+4a)/2，+∞)上单调递增。

解：
(1) 求f(x)的定义域
x≠0......①
x>0.......②
所以，x>0
函数的定义域是：(0，+∞)
(2) 求f(x)的导数
f'(x)=1-a/x²-a/x=(x²-ax-a)/x²
因为1/x²>0，所以后续只需考虑x²-ax-a的正负性。
(3) 对于y=x²-ax-a，Δ=a²+4a=a(a+4)
3.1 当Δ≤0时，恒有y≥0
所以， 当-4≤a≤0时，恒有f'(x)≥0
所以，当-4≤a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增。
3.2 当Δ>0时，即a>0或a0时的情况。
由a>0可知，x1+x2=a>0，x1x2=-a0的解集是(x2，+∞)
所以，a>0时，f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增。
3.2.2 再考虑a0
所以，两根均负，即x10的解集是(0，+∞)
所以，a0时，
f(x)在(0，a/2+√(a²+4a)/2)上单调递减。
f(x)在(a/2+√(a²+4a)/2，+∞)上单调递增。