Question

已知函数f(x)=log²x/1－x

1 求函数的定义域 2 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)是增函数 log后的2在下面

Answer 1

1
f(x)=log₂[x/(1－x)]
函数有意义需真数大于0
即x/(1-x)>0
x/(x-1)<0
解得0<x<1
f(x)的
定义域
为(0,1)
2
设0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=log₂[x1/(1-x1)]-log₂[x2/(1-x2)]
=log₂[x1/(1-x1)]+log₂[(1-x2)/x2]
=log₂[x1/(1-x1)*(1-x2)/x2]
=log₂[(x1-x1x2)/(x2-x1x2]
∵0<x1<x2<1
∴0<x1-x1x2<x2-x1x2
∴0<(x1-x1x2)/(x2-x1x2)<1
那么log₂[(x1-x1x2)/(x2-x1x2]<0
即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)
∴f(x)是
增函数