Question

高等数学关于函数的连续性与间断点的问题

课后有一个习题，判断正误，并给出理由，（1）如果函数f(x)在a连续，那么|f(x)|也在a连续？这题那个a到底是表达f(x)在x=a处连续还是什么意思呢？

Answer 1

理解正确。f(x)在x=a点处连续。
假设|f(x)|在a处不连续,则设左极限lim(x→a-)|f(x)|=A,右极限lim(x→a+)|f(x)|=B;
∴A≠B;A≥0且B≥0;
则函数f(x)在a处左极限lim(x→a-)f(x)=±A;右极限lim(x→a+)f(x)=±B;
则±A≠±B;
于是函数f(x)在a处lim(x→a-)f(x)≠lim(x→a+)f(x);
左右极限不相等;
则函数f(x)在a处极限不存在;
那么函数f(x)在a不连续;
这与已知条件相悖;
∴假设不成立;
∴|f(x)|也在a连续