Question

已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上,过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A

已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标
（2)若点P的坐标为（2，1），过点P做直线与圆M交于C、D两点，当CD=根号2时，求直线CD方程。
（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标

Answer 1

(1)∠APM=∠MPB=(1/2)∠APB=60°/2=30°
MA⊥AP,MA=1,|MA|/|MP|=sin∠APM=sin30°=1/2,
|MP|=2|MA|=2
M(0,2)，设P(2y0,y0)(P在直线L:X-2Y=0上),
则|MP|=√{[2(y0)-0]^2+[(y0)-2]^2}=2,
5(y0)^2-4(y0)=0,y0=0或y0=4/5
P的坐标为(0,0),或(8/5,4/5)
(2)设CD中点为N，则N平分CD且MN⊥CD，|MD|=1,
|ND|=(1/2)|CD|=(√2)/2,由勾股定理得
|MN|=√(|MD|^2-|ND|^2)=(√2)/2
设直线CD方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,
圆心M(0,2)到直线CD的距离|MN|=(√2)/2
由点到直线距离公式得
|MN|=|k*0-2+1-2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,
|1+2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,
7(k^2)+8k+1=0
k=-1或k=-1/7
直线CD方程为y-1=-(x-2)或y-1=-(1/7)(x-2)
即x+y-3=0或x+7y-9=0
(3)显然经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2),
因为MA⊥AP,所以过A、P、M三点的圆的圆心为MP中点，圆直径为MP
过M作MQ⊥直线L,垂足为Q,则过A、P、M三点的圆必过定点Q
设Q(2y0,y0)(Q在直线L:X-2Y=0上),
直线L:X-2Y=0斜率为1/2,则直线MQ斜率为[(y0)-2]/[2(y0)-0]=-2,
y0=2/5,Q坐标为(4/5,2/5)
即点P在直线运动时，经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2)和Q(4/5,2/5)

Answer 2

很明显，可以的得到一个切点的位置（0，2）
又OP的斜率是2
则AB的斜率是-1/2
所以AB的方程为y=-x/2+2

。。。 。。。很是无语。。
既然如此，
OP=3√5
以P为圆心，PA为半径画圆
则PA^2=OP^2-OA^2=45-4=41
所以所求的圆为
(x-3)^2+(y-6)^2=41
减取圆的方程
得-6x+9-12y+36=41-4
3x+6y-4=0

Answer 3

解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=
1sin30°=2，即（2m）2+（m-2）2=4，…（3分）
解得：m=0，m=
45故所求点P的坐标为P（0，0）或P(
85，
45)．　 　　…（6分）
（2）设P（2m，m），MP的中点Q(m，
m2+1)，因为PA是圆M的切线
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x-m)2+(y-
m2-1)2=m2+(
m2-1)2…（9分）
化简得：x2+y2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故x2+y2-2y=02x+y-2=0​解得x=0y=2​或x=
45y=
25​即（0，2）和（45，
25）．…（14分）

Answer 4

12345321

Answer 5

1